パレートの最適性:条件と構成

この記事では、以下について説明します。-1.パレート最適性の紹介2. 生産効率3. 生産および完全競争におけるパレート最適4. 消費または交換の効率5. 消費または交換および完全競争におけるパレート最適6. パレート外部効果が存在するときの最適条件およびその他の詳細

内容:

  1. パレート最適性の紹介
  2. 生産効率
  3. 生産におけるパレート最適性と完全な競争
  4. 消費または交換の効率
  5. 消費または交換におけるパレート最適性と完全な競争
  6. 外部効果が存在する場合のパレート最適条件
  7. 商品間での因子の配分の効率、または製品ミックスまたは生産物の組成の効率
  8. 出力のパレート最適構成と完全な競争


1.パレート最適性の紹介:

社会の福祉は、最も広い意味で、すべての消費者の満足度に依存します。 しかし、社会の経済状態のほぼすべての変化は、一部のメンバーに有利な影響を与え、他のメンバーに不利な影響を与えます。

そのような社会的変化の評価は、経済学者が何らかの価値判断の下で効用の対人比較を行う準備ができていなければ不可能です。 むしろ、彼は、少なくとも1人の人が幸福で、誰も悪化していないような変化を喜んで評価します。

イタリアの経済学者Vilfredo Pareto(1848-1923)は、経済状態の変化が少なくとも1人の個人を誰も悪化させずに良くするなら、その変化は社会福祉の改善のためである、つまり変化が望ましいと言った。 その場合、初期状態はパレート非最適であったと言います。

一方、変化によって誰も良くならず、少なくとも1つは悪くなり、その変化が社会を悪化させることを意味する場合、福祉の観点からは、初期経済状態はパレート最適です。

したがって、パレート最適性基準は次のように記述できます。

誰かを悪化させることなく、誰かを改善することが不可能な状況は、パレート最適またはパレート効率であると言われています。

明らかに、パレート最適性の概念は、効用の対人比較を回避します。 ほとんどの政府の政策は経済状態の変化を伴い、それは一部の人々に利益をもたらし、他の人々に不快感をもたらすため、パレート最適性の概念は現実世界の状況での適用性が限られていることは明らかです。

パレート最適条件:

経済でパレート効率の高い状況を達成するには、3つの限界条件を満たさなければなりません。

これらは:

(i)企業間での要因の配分における効率の限界条件(生産効率);

(ii)消費者間の商品流通の効率に関する限界条件(消費の効率); そして

(iii)商品間の因子の配分における効率の限界条件(製品ミックスの効率または生産物の組成)。

仮定、想定。推測:

パレート最適性を達成するためのこれら3つの限界条件を導き出すために、簡単にするために、2つの消費者(IおよびII)、2つの生産要因(X 1およびX 2 )があると仮定します。 そして、2つの商品(Q 1とQ 2 )、つまり、ここでのモデルは2 x 2 x 2モデルになります。


2.生産の効率:

消費財が「多ければ多いほど良い」タイプであり、消費に外的影響がないと仮定した場合、他の量の減少なしに少なくとも1つの消費財の生産量の増加が生じる可能性があります。少なくとも1人の消費者のユーティリティレベルを改善し、他の消費者のユーティリティを減少させない

したがって、生産におけるパレート最適性は、他のすべての消費財の出力レベルを前提として、各消費財の出力レベルが最大であることを必要とします。

Edge-worthボックス図と呼ばれる図21.1を使用して、生産におけるパレート効率の限界条件を導き出すことができます。 図21.1の長方形の寸法は、消費財Q 1およびQ 2を生産するためにすべて使用される入力X 1およびX 2の合計利用可能数量x0 2を表します。

ボックス内の任意のポイントは、2つの商品の生産に対する投入の特定の割り当てを表します。

たとえば、入力の割り当てがポイントBによって与えられる場合、良好なQ 1の生成に使用されるX 1およびX 2の量は、原点Oを基準としたBの座標によって測定され、良好なQ 2の生成に使用されるX 1およびX 2は、原点O 'を基準とした点Bの座標によって測定されます。

商品QおよびQ 2の等量(IQ)マップを、それぞれ原点OおよびO 'を参照して図21.1に示します。

ここで、与えられた良好なQ 2の出力レベルを条件として、良好なQ 1の出力を最大化すると、生産におけるパレート効率の限界条件が得られます。 このような最大化は、2つの商品のIQの接点で発生します。

たとえば、IQ3で与えられるQ 2の量に応じたQ 1の出力の最大化は、商品のIQ間の接点Sで発生します。 同様に、IQ 3で与えられるQiの量に応じたQ 2の出力の最大化は、2つの商品のIQ間の接点Rで発生します。

ただし、2つの商品のIQの接点では、良好なQ 1のIQの数値勾配=良好なQ 2の IQの数値勾配があります。

MRTS X1、X2、またはQ 1の生産では= Q 2の生産ではMRTS X1、X2 (21.1)

したがって、生産におけるパレート効率の限界条件は(21.1)で与えられ、2つの投入物の間の技術的代替の限界速度(MRTS)は2つの商品の生産で同じであるべきであると述べています。

上記から明らかなように、生産におけるパレート効率のポイントは、必然的に2つの商品のIQ間の接点になります。 2つの商品のIQ間の接線のすべてのポイントを曲線で結合すると、CCPで示す生産のエッジワース契約曲線と呼ばれるものが得られます。 CCPは、図21.1の点Oから点O 'まで実行されます。

その結果、CCPのすべてのポイントが生産におけるパレート効率のポイントであることがわかりました。 つまり、CCPのある時点で、入力の割り当ての変更、一方の商品の量を減らすことなく他方の商品の生産量を増やすことはできなくなります。

一方、図21.1のBのような、CCPにない、条件(21.1)を満たさない点は、パレート非最適です。 ポイントBでは、良好なQ 1の場合はIQ 2に 、良好なQ 2の場合はIQ ' 2にあります。

ただし、資源の再配分後、経済がRとSの間のCCPのあるポイントに達すると、両方の商品の量は大きくなり、経済がRまたはSのポイントに達すると、一方の商品の数量が多くなり、もう一方の商品の数量は同じままになります。

これは、CCPにないポイントBはパレート非最適であり、リソースの再配分により、経済がCCPのセグメントRSのあるポイントに到達した場合、少なくとも一方の商品はより多く生産され、もう一方の商品は同じままです。

CCPのすべてのポイントがパレート最適であることがわかりました。 ただし、CCPでRとSなどの2つのポイントを比較することはできません。経済がSからRに移行すると、Q 1の出力が増加し、Q 2の出力が減少し、一部の人々にとって有利になるためです。他の一部については、また、効用の対人比較は除外されているため、ポイントRとSを比較することはできません。

条件の数学的導出

また、生産におけるパレート効率の限界条件を数学的に導き出すこともできます。

商品Q 1およびQ 2の生産関数は次のとおりであると仮定します。

q 1 = q 1 (x 11 、x 12

およびq 2 = q 2 (x 21 、x 22 )(2.12)

ここで、q 1およびq 2は商品Q 1およびQ 2の生産量、x 11およびx 12はQ 1の生産に使用される投入量X 1およびX 2 、x 21およびx 22は数量です。良いQ 2の生産に使用されるこれらのインプットの。

2つの入力の利用可能な合計量はx0 1とx0 2なので、次のように記述できます。

パレート最適性の要件に従って、次の条件に従って(21.2)で与えられるq 1を最大化すると、効率条件が導き出されます。

ここで、q0 2は良いQ 2の任意の量です。

この制約付き最大化問題に関連するラグランジュ関数は次のとおりです。

q 2 = q0 2の対象となる最大q 1の1次または必要条件は次のとおりです。

パレート効率条件(21.1)または(21.7)は、2つの入力X 1およびX 2の利用可能な数量を、2つの商品Q 1およびQ 2の生産に割り当てる必要があることを示しています。入力間のMRTSは、2つの商品の生産で同じである場合があります。

生産のパレート効率に条件(21.7)が必要な理由を簡単な例で見ることができます。 Q 1の生成では、MRTS X1 、x 2 = 2であり、Q 2の生成では、MRTS X1 、x 2 = 1であるとします

つまり、MRTSは2つの商品の生産において同じではありません。

上から、Q 1の生成でX 2の 2単位をX 1の 1単位に置き換え、Q 1の出力を一定に保つことができます。 同様に、Q 2の生成でX 2の 1単位をX 1の 1単位に置き換え、Q 2の出力を一定に保つことができます。 したがって、私たちがしなければならないことは、Q 2の生産からX 1の 1単位を取り出し、それをQ 1の生産に使用することです。

これにより、Q 1の生産から2単位のX 2が放出され、その1単位をQ 2の生産に移して、その出力を初期レベルに保つことができます。 これをすべて行うと、Q 1とQ 2の出力は変更されないままになりますが、X 2の余分なユニットが残ります。 このユニットをQ 1 (またはQ 2 )の生産に使用して、Q 1 (またはQ 2 )をさらに取得できます。 したがって、他の出力を減らすことなく、1つの出力を増やします。

上記の例は、2つの商品の生産でのMRTS X1、X2が等しくない場合、Q 2の生産でのMRTSがQ 1の生産でのMRTSよりも低い場合を示しています。 次に、入力X 1の限界単位をQ 2の生成から取り去り、MRTS X1、X2がより高いQ 1の生成に転送し、引き換えに入力X 2をフィールドから取り去る必要があります。 。

プロセスを続けると、X 1の量が減少するとQ 2の生産のMRTSが上昇し、X 1の量が増加するとQ 1の生産のMRTSが低下します。割り当てはパレートの意味で改善されます。

したがって、パレート効率の高い状況に到達する場合、2つの商品の生産でMRTSが等しくなるまでプロセスを継続する必要があります。 両方の商品の生産におけるMRTSが同じになると、他の商品の生産を減らさずに、商品の少なくとも1つの生産を増やすことはできなくなります。

これを理解するために、2つの商品の生産において2つの投入間のMRTSが等しく、4に等しいと仮定します。その場合、Q 2の生産からXの1単位を奪うと、Q 1の生産にそれを転送すると、Q 1の出力レベルが一定のままになるように、後者がX 2の 4単位を交換で解放します。

これらの4単位のX 2は、MRTSが4であるため、Q 2の生産に転送する必要があります。4単位のX 2を1単位のX 1と交換してQ 2の生産に使用する場合、 Q 2の出力は、初期レベルでは変化しません。

したがって、資源の再配分によって、少なくとも1つの商品の生産を増やすことができませんでした。 それどころか、インプットの再配分は、2つの商品のアウトプットを初期量で変更しないようにします。


3.生産および完全競争におけるパレート最適性

生産におけるパレートの最適性は、完全な競争の下で保証されます。 完全競争下では、2つの入力X 1およびX 2の価格r 1およびr 2が商品Q 1およびQ 2を生産する企業に与えられ、各利益最大化企業はMRTS X1に相当します。入力の価格の比率に対するx 2

つまり、Q 1のプロデューサーには次のようになります。

(21.8)から、以下を取得します。

Q 1の生産におけるMRTS x1x2 = Q 2の生産におけるMRTS x1x2 (21.9)

条件(21.9)は条件(21.7)と同じであるため、生産におけるパレート効率は完全な競争の下で確実です。

ここで、商品Q 1およびQ 2の生産に対する入力X 1およびX 2の割り当てと、Q 1およびQ 2の生産量について、方程式(21.7)または(21.9)のグラフィカルな解を得ることができます。 限界条件(21.7)または(21.9)の満足は、完全な競争の下で保証されます。

競争市場では、投入物の価格はr 1およびr 2であると仮定します。 ここで、図21.1の点O 'を通る勾配r 1 / r 2の直線STを描き、等量の共通の勾配が存在する生産(CCP)の契約曲線上の点eを取り上げましょう。線STの勾配に等しい。 つまり、ポイントeで、2人の個体のIQの数値勾配=線の数値勾配ST = r 1 / r 2があります。

つまり、図21.1の点eでは、生産効率の限界条件が満たされている。 この時点で、2つの入力、x0 11およびx0 21の数量はQ 1の生産で使用され、これらの数量は、Q 1の生産関数で置換されると、 同様に、2つの入力x0 21とx0 22の量がQ 2の生成に使用され、ここでの出力はq0 2になります。


4.消費または交換の効率

2つの消費者IおよびII間の2つの商品Q 1およびQ 2の特定の量の分布は、これらの商品の再分配によって、 0を減らすことなく1人の効用を増やすことが不可能な場合、パレート効率と言われます他のユーティリティ。

消費または交換の効率の限界条件は、図21.2に示したEdgeworthボックス図を使用して導き出すことができます。 図21.2の長方形の寸法は、純粋な交換経済における2つの商品の利用可能な合計数量q0 1とq0 2を表しています。

ボックス内の任意のポイントは、2人の消費者間の商品の特定の分布を表します。 たとえば、商品の分布がポイントAで与えられる場合、消費者Iが消費するQ 1とQ 2の量は、原点Oに対するAの座標によって測定され、IIが消費する2つの商品の量は原点O 'に対するAの座標によって測定されます。

消費者Iの無差別マップには原点Oが与えられ、IIの無差別マップには原点O 'が与えられています。

さて、消費者または交換のパレート効率の限界条件は、消費者IまたはIIの特定のユーティリティレベルを条件として、消費者IまたはIIのユーティリティレベルを最大化すると得られます。このような最大化は、無関心の接点で発生します2つの消費者の曲線(IC)。 たとえば、消費者IIのIC 1によって与えられるIIの効用レベルに従う消費者Iの効用の最大化は、2人の消費者のIC間の接点Eで発生します。

同様に、消費者IのIC 3によって与えられるようなIの効用レベルに従う消費者IIの効用の最大化は、2つの消費者のIC間の接点Fで発生します。 したがって、交換均衡が一意ではないことを追加できます。

ここで、2つの消費者のICの接点で、消費者IのICの数値勾配=消費者IIのICの数値勾配があります。

=> MRS Q1 、コンシューマIのQ2 =コンシューマIIのMRS Q1、Q2 (21.11)

したがって、消費のパレート効率の限界条件は(21.11)で与えられます。 上記から、2人の消費者のIC間の接点がパレート効率ポイントであることは明らかです。 このような接線のすべてのポイントを図21.2の曲線で結合すると、消費または交換(CCCまたはCCE)のエッジワース契約曲線と呼ばれるものが得られます。これは、ポイントOからポイントO 'まで続きます。

したがって、(21.11)が満たされる契約曲線上のすべてのポイントは、消費におけるパレート効率のポイントです。 というのも、図(21.2)の契約曲線のある時点にいる場合、商品の流通の変化によって、1人の消費者の効用を改善することなく、1人の消費者の効用を改善することはできないからです。もう一方。

したがって、交換におけるパレート効率のポイントは一意ではないことに再び注意しましょう。 一方、Aのような、契約曲線上になく、(21.11)を満たさない点は、パレート非最適です。 ポイントAでは、消費者IはIC 2にあり、消費者IIはIC 2にあります。

しかし、商品の再分配後、消費者がEとFの間の契約曲線上のある時点でもたらされる場合、両方の消費者は両方の利益を得ることになり、現在より高いICに到達するでしょう。 EまたはFをポイントすると、それらの1つが恩恵を受け、他方のユーティリティレベルは同じままになります。

これは、CCEにないポイントAはパレート非最適であり、商品の再分配によって、消費者をCCEのEFセグメントに連れて行くと、そのうちの少なくとも1つがパレート非最適であることを示しています。利点は、他のユーティリティレベルは同じままです。

契約曲線上のすべてのポイントがパレート効率であることがわかりました。 ただし、契約曲線上のポイントを比較することはできません。これには、ユーティリティの対人比較が含まれるため、明示的な価値判断なしでは不可能です。

条件の数学的導出

また、消費のパレート効率、つまり交換の限界条件を数学的に導き出すこともできます。 2つのコンシューマーIとIIのユーティリティ関数はそれぞれ、

u 1 = u 1 (q 21 、q 12

およびu 2 = u 2 (q 21 、q 22 )(21.12)

ここで、q 11とq 12は消費者Iが消費するQ 1とQ 2の量であり、q 21とq 22は個人IIが消費する2つの商品の量です。

およびq 2が2つの商品の指定数量である場合、次のようになります。

q 11 + q 21 = q0 1

およびq 12 + q 22 = q0 2 (21.13)

(21.12)から明らかなように、各消費者のユーティリティレベルは、他の消費者の消費量ではなく、消費者の消費量にのみ依存します。 つまり、ここでは外部効果は存在しないと仮定されています。

消費のパレート効率は、与えられたu 2 = u0 2を条件として 、またはその逆でu 1が最大化されることを意味します。 次に、u 1の制約付き最大化に関連するラグランジュ関数Vを次のように形成します。

V = u 1 (q 11 、q 12 )+λ[u 2 (q 2 (q 21 、q 22 )-u0 2 ](21.14)

ここで、λはラグランジュ乗数です。

ここで、u 2 = u0 2に従うu 1の制約付き最大化の1次条件は次のとおりです。

パレート効率条件(21.11)または(21.16)は、2つの商品のMRSが2つの消費者で同じになるように、2つの商品の所定量を2つの消費者に分配することを示しています。

消費のパレート効率に条件(21.11)が必要な理由を簡単な例で見ることができます。

それを仮定しましょう:

個人Iの場合、=> MRS Q1、Q2 = 2および

個人IIの場合、=> MRS Q1、Q2 = 1

つまり、MRSは2人の個人で同じではありません。

これは、個人Iが2単位のQ 2を交換して1単位のQ 1を取得し、個人IIが1単位のQ 2を交換して1単位のQiを取得することを意味します。 そのような場合、2人の個人のMRSが同じではない場合、他の消費者を悪化させることなく、少なくとも1人をより良くするために商品を再配布することができます。

ここでやらなければならないのは、消費者IIからQ 1の 1単位を取り去り、それを私に渡すことです。 ここで、これらのユニットの1つをBに渡し、ユーティリティレベルを一定に保ちます。1ユニットのQ 1を放棄するために、1ユニットQ 2が必要です。

しかし、Q 2が1ユニット残っています。 私はそれをIまたはIIのいずれかに与えることができ、したがって、他の人を悪化させることなくIまたはIIをより良くすることができます。 したがって、初期割り当ては効率的ではありませんでした。

上記の例は、2つの個人のMRSが等しくない場合、IIのMRSがIのMRSよりも低い場合、個人IIから良いQの限界単位を取り除いて、それはMRSが高いIに、そして彼と引き換えに良いQ 2を奪います。

プロセスを続行すると、彼とのQ 1の量が減少するとIIのMRSが増加し、彼とのQ 1の量が増加するとIのMRSが減少します。パレート感覚。 したがって、パレート効率の高い状況に到達する場合、2人のMRSが等しくなるまでプロセスを継続する必要があります。

2人のMRSが等しい場合、少なくとも1人に害を及ぼすことなく、少なくとも1人に良い再分配を行うことはできません。 これを理解するために、両方の人のMRSが等しく、4に等しいと仮定しましょう。

その場合、消費者IIから1単位のQ 1を取り出して消費者Iに渡すと、消費者Iは、ユーティリティレベルをそのまま維持するために4単位のQ 2を提供します。 これらの4ユニットを個人IIに渡すと、彼のユーティリティは初期レベルになります。 つまり、商品の再配布によって、少なくとも1人のユーティリティレベルを改善することができませんでした。 それどころか、商品の再配布は、個人を初期の実用レベルに維持するでしょう。


5.消費または交換におけるパレート最適性および完全な競争:

消費におけるパレートの最適性は、完全な競争の下で自動的に達成されることが容易に示されます。 完全な競争の下で、2つの商品の価格P 1とP 2が消費者に与えられ、各ユーティリティ最大化消費者はQ 2に対するQ 1の MRSを商品の価格の比率と同等にします。

つまり、コンシューマーIの場合、次のようになります。

これはパレート効率条件(21.16)または(21.11)に他なりません。

したがって、完全な競争は、消費者間の商品の流通におけるパレート効率を保証します。


6.外部効果が存在する場合のパレート最適条件:

(21.18)によって与えられる2人の個人(IとII)間の2つの商品(Q 1とQ 2 )の与えられた量のパレート効率分布の限界条件は、消費の外部性という仮定に基づいて得られました。欠席しています。

ここで、外部効果が存在する場合、消費におけるパレート最適性条件は一般に限界条件(21.18)とは異なることがわかります。

ある消費者の効用レベルが別の消費者の消費にも依存するという意味で、消費に外部効果が存在すると仮定しましょう。

2つのコンシューマのユーティリティ関数が次のように与えられていると仮定しましょう。

u 1がu 2 = u0 2の与えられたレベルに応じて最大である場合、パレート最適性が達成されます。

この制約付き最大化の条件を導出するには、ラグランジュ関数を形成する必要があります。

式(21.23)は、外部効果が存在する場合の消費におけるパレート最適性の必要条件です。 一般に、(21.18)または(21.16)または(21.11)で与えられるパレート最適限界条件とは異なります。

完全な完了は、(21.11)の達成を保証しますが、(21.23)の達成は保証しません。 (21.23)から明らかなように、外部効果がなければ、∂u1 /∂q21、∂u1 /∂q22、∂u1 /∂q11および∂u2 /∂q12、 すべてゼロに等しい場合、(21.23)は(21.11)に減少します。

ここで、ユーティリティ関数の偏導関数はすべての変数、すなわちq 11 、q 12 、q 21 、q 22の関数であると仮定しているため、各消費者の最適な位置は他の消費レベルに依存します。

たとえば、2消費者モデルに存在する唯一の外部効果が∂u2 /∂q11 <;であると仮定した場合 0の場合、式(21, 23)は次のようになります。

これがなぜそうなのか直感的に理解できます。 消費者IのQ 1の消費が増加すると、消費者IIのユーティリティレベルは低下します。 これは、消費者IIに対するQ 1の限界的な重要性が比較的大きいことを意味します。これは、消費者IIのMRS Q1、Q2が商品の最適な流通状態で小さくなることを意味します。

というのは、この分布では、MRSと同等の分布と比較して、消費者IIが所有するQ 1の量は、消費者Iが所有する量よりも多いからです。

図21.3を使用して、外部効果の存在下で条件(21.16)が必ずしもパレートの最適性を保証するわけではないことを図式的に示すことができます。 図21.3(a)と21.3(b)は、それぞれ消費者IとIIの無関心マップを示しています。 最初に、消費者Iが組み合わせAを消費し、消費者IIが組み合わせEを消費すると仮定します。

2人の消費者のMRS Q1Q2は、商品の価格を考えると、ユーティリティの最大化ポイントで等しくなります。 ここで、消費者Iに外的影響はないと仮定します。つまり、IのユーティリティレベルはIIの消費によって影響を受けません。

ただし、消費者IIのユーティリティレベルは消費者Iの消費に影響されます。上記で行ったように、Q 1をより多く消費すると、IIのユーティリティレベルは低下します。つまり、∂u2 /∂q11 <0これは、ここに存在する外部効果です。

さて、図21.3(b)では、消費者IIの無関心曲線(実線)は、消費量が組み合わせAによって与えられるという仮定に基づいて描かれています。個々の均衡状況では、消費者Iの効用指数は100であり、IIは80。

ここで、2つの個人間の商品を再分配して、それらの総量が変わらず、IがQ 1が少なくQ 2が多いポイントCに移動し、IIがQ 1が多くQ 2が少ないポイントGに移動するとしますAB = FGおよびBC = EF)。 消費者のユーティリティレベルは、この再配布のため変更されていません。彼は同じICにとどまっています。

しかし、消費者IのQ 1の消費が減少したため、消費者IIの嗜好無関心パターンが影響を受けます。 彼の新しいICは点線の曲線で示されています。 また、ポイントGでは、消費者IIのユーティリティレベルが90に増加しました。これは、私が消費するQ 1が減ったためです。

したがって、再配布によって、IIのユーティリティレベルを上げることができました。Iのレベルは一定のままです。 つまり、消費者のMRSが等しかったAとEでの初期平衡位置は、パレートが最適ではなかったということです。 したがって、2つの消費者のMRSの平等はパレートの最適性を保証しないことがわかりました。

現在の均衡状況では、消費者IのMRSは同じICに沿って北西に移動したため増加し、IIのMRSは同じICに沿ってではなくほぼ平行なICに沿って南東に移動したため減少しました。

つまり、上記の外部効果が存在する場合、消費者IIのMRSは消費者IのMRSよりも小さくなります。この結果は、上記の数学的分析ですでに得られています。


7.商品間での要因の配分の効率、または製品ミックスまたは生産物の構成の効率:

生産物または製品ミックスの構成は、異なる製品ミックスにつながる要因を商品間で再割り当てすることにより、他の人のユーティリティを減らすことなく他の人のユーティリティを増やすことができない場合、パレート効率です。

パレート効率の製品ミックスの限界条件は、Q 2からQ 1への限界製品変換率(MRPT)が、それぞれのQ 2に対するQ 1の限界置換率(MRS)と同じでなければならないことを示しています。消費者。

ここで、Q 2からQ 1へのMRPTは、Q 1をもう1つ(または限界)単位生成するためにQ 2の生成を減らす必要がある量に等しく、そのため、経済の生産可能性曲線またはフロンティア(PPCまたはPPF)の数値勾配。

経済のPPCは、2つの入力(X 1およびX 2 )の利用可能な数量がパレート効率的に生成できる2つの商品(Q 1およびQ 2 )のすべての組み合わせを通過します。 つまり、PPCにある2つの商品の任意の組み合わせにより、一定量のQ 2の生産を条件に生産可能な最大量のQ 1 、または一定量を条件とする最大量のQ 2が得られます。 Q 1の

言い換えると、PPCにある2つの商品の組み合わせは、生産のエッジワース契約曲線(CCP)にあるものです[図 21.1]。 つまり、CCPのポイントとPPCのポイントの間には1対1の対応があります。 CCPに沿って移動すると、一方の商品の数量が増加し、もう一方の商品の数量が減少するため、PPCの傾きは負になります。

また、Q 2の生産からますます多くの入力が削除され、Q 1の生産に従事しているため、Q 2は一定の割合でQ 1に変換されます。この場合、PPCは次の負の直線になります。その数値勾配またはMRPTは定数であるか、または可能性が高いQ2は、限界積の減少の法則により増加率でQ1に変換される可能性があり、この場合、PPCはQ 1が増加し、Q 2が減少するにつれて、すなわち曲線に沿って南東に移動するにつれて、数値勾配またはMRPTが上昇します。 これらの2種類のPPCを図21.4に示しました。

現在、MRPTは生産において商品を別の商品に変換できる割合を示し、MRSは消費者が商品を別の商品と交換する割合を示しているため、パレート効率の高い製品ミックスは、 2つのレートは同じです。 そうして初めて、生産部門の計画は家計部門の計画と一致する可能性があり、2つは均衡状態になります。

簡単な数値例を使用して、引数を説明できます。 特定の製品構成で、MRPTは7、つまり7単位のQ 2を1単位のQ 1に変換できると仮定します。

一方、この製品構成では、各消費者のMRSは、たとえば3です。つまり、Q 1の追加(または限界)単位を置き換えるために、各消費者はQ 2の 3単位を差し控えます。彼の効用レベルが一定のままであるかもしれないこと。

福祉の状況を改善するために、この場合にできることは次のとおりです。各消費者からQ 1を1単位取り去り、その代わりにQ 2を7単位とし、その7単位のうち、 give 3 units to the consumer to compensate for his loss of 1 unit of Q 1 . We are then left with 4 units of Q 2 for each consumer.

If their number is 2, then we are left with 8 units of Q 2 some of which we may give to consumer I and some to consumer II. Thus the utility level of both the consumers would increase. This shows us that the initial situation of MRPT ≠ MRS was Pareto-non-optimal.

Now, as we take away Q 1 from each consumer, his MRS Q1, Q2 would increase (from 3) and as we move northwestward along the PPC curve to have Q 2 in its place, the MRPT would decrease (from 7). We have to continue the process unless at some product composition MRPT becomes equal to MRS.

Therefore, the marginal condition for the Pareto-efficient product-mix gives us that the MRPT between the products should be equal to the MRS of each consumer. It may very well be seen that once these two become equal, no improvement in welfare can be achieved by any further change in product composition.

For example, if both MRPT and MRS are equal to 5, say, then, if we take away 1 unit of Q 1 from each consumer, 5 more units of Q 2 would be obtained in its place, and all of these 5 units would have to be given to the consumer to compensate for his loss of 1 unit of Q 1 —to keep him on his initial utility level. Thus, nothing would be available for any improvement.

On the basis of the above analysis, we may write the marginal condition for the Pareto- efficient product-mix or composition of output as

MRPT Q2 into Q1 = MRS Q1, Q2 of consumer I = MRS Q1, Q2 of consumer II (21.25)


8. Pareto-Optimal Composition of Outputs and Perfect Competition:

Like the other two marginal conditions, the third marginal condition of Pareto-efficient composition of output is also guaranteed by perfect competition, where the prices p 1 and p 2 of the goods Q 1 and Q 2, are given to the two firms and two consumers.

Also, in profit-maximising equilibrium under perfect competition, we have the marginal cost of production (MC 1 ) of Q 1 equal to pi and the marginal cost of production (MC 2 ) of Q 2 equal to p 2 (ie, p 1 = MQ and P2 = MC 2 ).

We have seen above that the Pareto-efficient product-mix cannot be obtained unless the MRPT of Q 2 into Q 1 and the MRS of Q 1 for Q 2 for each consumer are equal, and that this condition is guaranteed under perfect competition. We may now see graphically how eqn. (21.28) can be solved for the combination of the two goods that would make the production sector's plans consistent with the household sector's plans.

We have obtained, therefore, that the equilibrium commodity combination for our society consisting of two profit-maximising firms and with given quantities (x0 1 and x0 2 ) of two inputs, is the one where the condition given by equation (21.27) or equation (21.28) is satisfied.

We might remember at this point that the PPC passes through the commodity combinations implicit at the points on Edgeworth contract curve for production (CCP), ie, these commodity combinations on the CCP have been mapped into the PPC, or, there is a one-to-one correspondence between these commodity combinations implicit at the points on the CCP and those lying on the PPC.

(21.27) gives us that the point where the condition for equilibrium commodity combination is satisfied is the point of tangency between the PPC curve and line of slope –p 1 /p 2 . In Fig. 21.5, AB is this line, say, and it has touched the PPC curve at the point E. Therefore, the society's equilibrium production point is the point E, and it should produce q0 1 and q0 2 of the two commodities.

We may now come to the distribution of the goods between the two consumers, I and II. They have to be so distributed that the Pareto-efficiency in consumption is achieved, ie, the marginal condition for such efficiency is satisfied.

As we know, this marginal condition is:

We also know that the satisfaction of this condition is guaranteed under perfect competition, since both of them would be equal to p 1 /p 2 which is given and constant:

In Fig. 21.5, the Pareto-efficient distribution of the goods is obtained at the point e on the Edgeworth contract curve for consumption (CCC), for, at this point, both the indifference curves (ICs) of the two consumers have touched the line A'B' which is parallel to the line AB.

That is, in order to obtain the Pareto-efficient distribution of the goods, we have to find out the point (like e) on the Edgeworth CCC at which the numerical slopes of the ICs of the two consumers are equal to p 1 /p 2 which is here the numerical slope of the line AB.

To be more specific, as the solution of eqn. (21.26), we have obtained the economy's production of the two goods to be E(q0 1 q0 2 ) and by solving (21.17), we would obtain the distribution of these quantities between the two consumers (at the point e) to be (q0 11, q0 12 ) for the first consumer and (q0 21, q0 22 ) for the second consumer.


 

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