生産プロセス(図付き)

この記事では、生産プロセスの理論的分析について説明します。

生産工程:

事業会社は基本的に生産単位であり、入力は消費者、他の企業、およびさまざまな政府部門への販売のために出力に変換される技術単位です。

生産とは、経済的資源またはインプット(土地、労働、資本設備などの天然資源で構成される)が起業家によって組み合わされて、経済的な財とサービス(アウトプットまたは製品とも呼ばれる)を作成するプロセスです。

入力は生産プロセスの始まりであり、出力はプロセスの終わりです。 図13.1は、生産プロセスの単純な概略図であり、入力を出力に変換するものと考えることができます。

このプロセスは、商品とサービス(消費者が望む)と汚染(消費者が望まない)などの商品の両方を共同製品として生産する可能性があることに注意してください。

伝統的な経済学では、「生産」という用語は広い意味で使用されます。 それは、人間のニーズと欲求を満たすために、市場で販売する商品とサービスの提供を指します。

しかし、経営経済学では、この用語は、鉄鉱石の鉄鋼への変換やコンポーネントの生産と完成車への組み立てなど、資源の物理的変換のプロセスを指すために狭い意味で使用されます。

この定義には、位置のような他の同様に重要な変換形態が含まれることが確実であり、それによって完成した車は工場から購入可能なディーラーのショールームに移動されます。 ここでは、特に物理的変換という狭い意味での生産に関係し、特に工場での生産に関連する経済的問題に言及しました。

生産システムは、投入、生産プロセス、生産という3つの要素で構成されていると見なすことができます。 実際には、市場の可能性を考慮してアウトプットを考慮する必要があるため、アウトプットは運用の出発点です。

投入は、あらゆるタイプの労働、必要な原材料およびエネルギー源の形を取ります。 これらはすべて、コスト支出を伴います。 したがって、コストの理論と生産の理論は相互に関連しています。 実際、前者は後者から派生しています。

生産システムは、均一な製品または2つ以上の製品(固定または可変比率)の流出で終了するプロセスを通る、連続的でスムーズなリソースフローとして表示できます。

時間は生産理論においても非常に重要な役割を果たします。 通常、短期と長期を区別します。 区別は期間に基づいていませんが、因子置換の可能性に基づいて行われます。

短期的には、いくつかの要因(資本や工場の規模など)は固定されたままであり、他の要因は可変であると想定されています。 長期的には、すべての要因が可変であると想定されています。 これから、短期コストは部分的に固定され、部分的に変動するという命題を導き出します。 長期的には、すべてのコストは変動します。

最後に、伝統的な経済学では、生産技術は「与えられた」と仮定されています。 しかし、経営経済学では、通常、マネージャーを選択するさまざまな代替手段がマネージャーに開かれていると想定されています。

生産決定

生産理論は経営経済学の中心にあります。 これは、価格決定の基本概念の1つである供給理論の基礎を形成します。 さらに、生産の決定は、経営上の意思決定の重要な部分です。

マネージャーは、相互に関連する4つの異なる生産上の決定を行う必要があります。

(1)実際に生産またはシャットダウンするかどうか。

(2)生産量。

(3)使用する入力の組み合わせと

(4)使用するテクノロジーのタイプ。

簡単に言えば、生産とは、資本設備、労働、土地などの投入物を財やサービスの生産物に変換することです。 この生産プロセスでは、管理者はこれらのインプットの使用における効率性(技術的および経済的)に関心があります。 また、効率目標は、企業がインプットを利用して望ましい商品やサービスを生産する方法に関する基本的なルールを提供します。

実際、生産の理論は、制約付き最適化手法の単なる応用です。 同社は、特定のレベルの出力を生成するコストを最小化するか、特定のレベルのコストで達成可能な出力を最大化しようとしています。

両方の最適化の問題が、入力の割り当てとテクノロジーの選択について同じルールにつながることは明らかです。 また、このルールは、可変リソース割り当ての問題に適用されます。 企業による投入市場と投入需要の議論にこの規則を適用する場合があります。

生産機能の意味についての一般的な議論から始めます。 実際、生産理論の重要な概念は生産関数であり、これは入力が出力に変換される方法を示す技術的な関係です。

また、一定量のリソース(入力)から取得できる最大出力量を示す経済的関係でもあります。 共同会社と多製品会社の問題は別々に扱われます。 まず、1つの入力のみが可変である場合、短期的に生産を検討します。

次に、2つ以上の入力を変更できる場合、生産と入力の最適な組み合わせを検討します。 つまり、すべてのインプットの増加が総アウトプットに及ぼす影響を考慮し、ファクター価格の変化がファクターの割合または相対的なインプットの使用に与える影響を検討します。

生産機能

生産関数は生産理論の重要な概念です。生産関数は、入力の使用と達成可能な出力レベルとの間のリンクであるためです。 これは、出力の物理レートと入力使用の物理レートとの関係を正式に説明しています。 特定の技術状態では、達成可能な出力レベルは、生産プロセスで使用されるさまざまな入力の量に大きく依存しますが、完全にではありません。

生産機能は通常、既存の技術または生産技術を前提として、一定量のリソースから生産できる最大量の出力を示すスケジュール(またはテーブル、または数学方程式)として定義されます。 要するに、生産機能は企業の生産可能性のカタログです。

通常、生産ではさまざまな入力が使用されます。 したがって、一般的なルールとして、最大出力Qをさまざまな入力Xの使用レベルの関数となるように定義できます。つまり、

Q = f(X 1 X 2 、…X n )。

ただし、ここでの説明では、1つの入力(労働)または2つの入力(資本と労働)を使用して生成される1つの出力の単純なケースに焦点を当てます。 したがって、生産関数は次のように表現できます。

Q = f(K、L)。

ただし、開発する原則は、3つ以上の入力が関係する状況をカバーするように拡張できます。

生産機能は、指定されたレベルの入力使用量から生産できる最大量の出力を示すことを以前に述べました。 たとえば、生産関数が、10単位の資本と40単位の労働(ただし測定)を組み合わせることにより、1期間あたり100単位の出力を生成できることを示しているとします。

ただし、10単位の資本と40単位の労働力が非効率的に使用された場合、100単位未満の出力を生成できますが、それ以上は生成できません。 より多くの生産物が必要な場合は、労働力または資本、あるいはその両方を増やす必要があります。

私。 固定および変動要因

経済学者は、生産のプロセスを分析する際に、入力を固定または可変の2つのカテゴリに分類すると便利だと感じています。 固定入力とは、使用レベルを簡単に変更できない入力です。 ただし、実際には、検討中の期間がどれほど短くても、入力が永久に固定されることはありません。

ただし、実際にはすべての入力は実際には可変ですが、特定の入力の使用における即時の変動のコストはしばしば非常に大きいため、そのような入力は変動しません。 たとえば、建物、機械の主要部分、および管理要員は、一般に迅速に変更できない入力です。

したがって、このような変動が短期的な生産決定に影響することはほとんどありません。 一方、可変入力とは、出力の望ましい変化に応じて使用レベルを簡単に継続的に増減できる入力です。 さまざまな種類の労働サービスと特定の原材料および加工材料をこのカテゴリに入れることができます。

このような投入の分類に基づいて、経済学者は短期と長期を区別します。 前者は、1つ以上の入力の使用レベルが固定される期間を指します。 したがって、短期的には、出力は基本的に可変因子の量(使用量)の関数です。つまり、出力の変更は、変数入力の使用の変更によってのみ達成される必要があります。

したがって、より多くの労働時間(変動サービス)およびその他の変動入力を既存のプラントおよび機器(または資本ストック)で使用することにより、短期的にはより多くの出力を生成できます。 同様に、プロデューサーが短期的に出力を減らしたい場合、変数入力のみのクォンタム(使用量)を減らすことができます。

建物または高炉は使用できません(使用量がゼロになる場合もあります)。 短期生産機能の議論では、資本は固定投入とみなされます。 したがって、出力は労働だけの関数です。

このような単純化された生産関数は、次のように表現できます。

Q =ƒ(K̅、L)、(1)

資本に対するバーは、それが固定されていることを意味します。

または、次のように表現できます。

Q =ƒ(L)(1)。

対照的に、長期とは、すべての入力が連続的に変動できる期間(または計画期間)を指します。 言い換えれば、長期とは、出力の変更を最も費用対効果の高い方法で達成できる将来の時間を指します。

たとえば、短期的には、生産者は既存のプラントをより集中的に稼働させることにより、生産量を拡大できる可能性があります。 長期的には、追加の容量、つまり需要を満たすために必要となる可能性のある追加の出力を生成する生産的な設備を作成する方が経済的です。

ii。 技術の状態または応用科学知識

技術的な観点から見ると、生産機能とは、ある時点での生産プロセスの静止画像です。 これは、変更されていない技術または生産技術に基づいています。

したがって、企業、たとえばコンピューター製造業者が最新のテクノロジーを利用しており、このテクノロジーをトランジスタからシリコンチップに変更した場合、それに応じて生産プロセスと生産機能を変更する必要があります。

これは、競争の激しい世界では、生産管理者が最も費用対効果の高いテクノロジーを使用せざるを得ないためです。この文脈では、効率と有効性を区別することができます。 有効性とは、正しいことを行うことを意味します効率とは、正しいことを行うことを指します。

したがって、生産プロセスは時間固有であることがわかります。 入力と出力の両方は、期間ごとのフローとして表されます。 たとえば、2時間ごとに1台のコンピューターを生産することは、プロセスが1時間あたりコンピューターの半分の速度で生産していることを示唆することと同等です。 出力は単位時間ごとに測定されるため、入力は各期間に提供されるサービスの観点からも測定する必要があります。

たとえば、6時間の労働投入と6時間の機械使用は、それぞれ1時間1台の機械を使用する6人の労働者(プロセスA)、または1台の機械を6時間使用する1人の労働者(プロセスB)を意味します。 入力はいずれの場合も同じですが、生産管理者にとっては、プロセスAとBのどちらを選択して使用するかによって大きな違いが生じます。

iii。 1つの変数入力を持つ 短期生産 関数

短期生産関数の最も基本的な形式は、式(1)または(1) 'に示されており、1つの変数入力が含まれています。 さらに一歩進めます。

表13.1に示すように、月ごとに生産される無線機の数と月ごとに使用される労働量(L)との関係に関する必要な情報を収集したと仮定します。

表13.1の情報は、無線の次の生産関数に基づいて導出されました。

Q = 10L + 7.5L2 – L3(2)

ここで、図13.2に示す無線生成関数は5字型です。 生産関数は短期生産関数です。これは、変数入力のより多くの単位である労働が固定資本に追加されると出力がどうなるかを示すためです。

したがって、図13.2は、無線の短期生産関数である式(2)のグラフ表示です。 表13.1および図13.2は、生産プロセスの初期段階で、最初の数個の労働単位が追加されるにつれて、出力が増加する割合で増加することを示しています。 第二段階では増加し続けますが、ますます多くの労働者が雇用されるにつれて減少します。

図13.2では、6労働単位が固定量の資本と組み合わされた場合、出力は最大約114ラジオに達します。

総製品曲線から、平均物理製品または平均製品(AP)曲線と限界物理製品または限界製品(MP)曲線を導き出すことができます。 上記の例では、平均的な製品と限界的な製品の概念の両方が、労働の唯一の変動要因である労働(L)を参照しています。

ここでは、総生産または総物理生産という名前で総生産を呼び出します。 同様に、入力という用語、経済的リソース、またはLまたはKで表される生産要素は、生産プロセスで使用されるリソースを示すために使用されます。

総製品曲線から、平均物理製品または平均製品(AP)曲線と限界物理製品または限界製品(MP)曲線を導き出します。 ラジオの例では、平均製品と限界製品の両方の概念は、労働の唯一の変動要因である労働(L)を指します。

iv。 平均労働生産

平均製品(AP)は、ワーカーごとに出力されます。 これは、総製品を使用する変数入力の量(労働者数)で割ったものとして定義できます。

上記の生産関数の場合、平均労働生産量(AP L )は次のように表されます。

労働の異なる値を指定することにより、表13.1に示すように、異なるレベルの投入使用量での労働の平均生産物を決定できます。 平均製品を最大化する労働使用量のレベルを調べることに関心がある場合は、式(3)の1次導関数を取得し、それをゼロに設定して、次のように解決する必要があります。

したがって、労働の平均生産物は3.75労働単位で最大です。 図13.3は、ラジオ生産機能の平均労働生産物の挙動をグラフで示しています。 可変リソース(労働)の平均積は、経営陣に投入の効率性の尺度を提供します。

たとえば、変数入力が使用されていない場合、合計出力はゼロになります。 したがって、変数因子の正の量を使用して、出力を取得します。 これは、労働がないために生産の固定要素が十分に活用されていないためです。

最初の労働単位では16.5個の無線が生成され、2番目の労働単位(最初の単位と固定リソースと組み合わせた場合)では42個の無線が生成されます。 したがって、1労働単位の平均製品は16.5ラジオであり、2労働単位の21ラジオです。

この文脈で注意すべき重要な点は、2つの労働単位が採用されると、労働の平均生産量が増加することです。 したがって、2つの労働単位は明らかに1つの単位よりも効率的です。 これは、必ずしも2番目の労働単位が最初の単位よりも効率的であることを意味するわけではありません。

生産プロセスで2番目の労働単位を採用した場合の平均労働生産性の向上は、固定生産要素と最初の労働単位の両方をより効率的に使用した結果です。 たとえば、余分な労働単位が採用されると、生産プロセスがより専門化され、それによって両方の労働者がより効率的または生産的になる可能性が十分にあります。

これも、作業の流れの設定に関心のある生産管理者と、賃金表を設計する人事管理者の両方に重要な実際的な意味を持っています。 2番目の労働者は最初の労働者よりも多くは支払われるべきではありませんが、一人当たりの生産性が高いため、両方の労働者が報酬を受けるべきであるという感覚を抱くことがあります。

v。労働の限界生産物

経済学では、「マージン」という言葉は常に余分なものを指します。 したがって、変動要因(労働)の限界生産物は、変動要因の1つの追加単位の雇用に関連する総生産の変化率として定義することができます。 限界積を見つけるには、生産関数の一次導関数を取得する必要があります。 ラジオ制作の例では、労働の限界生産物(MP L )は次のように計算できます。

式(5)の労働関数の限界生産物を考えると、労働投入の特定のレベルに関連する特定の値は、表13.1の最後の列に記載されています。 これらの各値は、Lの値を式(5)に代入し、限界積を解くことによって取得されます。

この列の情報は、図13.3にグラフで示されています。 労働の限界生産物は、特定のポイントでの総生産曲線の勾配dQ / dLによって測定されます。総生産曲線の勾配は、最初は正(正のMP Lを意味する)であり、次にゼロ(ゼロのMP Lまたは定数を意味する)です。総積)および最終的に負(負のMP Lを意味する)

あるいは、出力の絶対変化(ΔQ)を変数(因子)入力の絶対変化(ΔL)に単純に関連付けることにより、入力範囲での労働投入量あたりの平均限界生産物または限界生産物を計算できます。 したがって、2番目の労働単位が採用されている場合、単位あたりのMP Lは25.5単位です。

平均MP L = ∆Q / ∆L =(42.0-16.5)/(2-1)= 25.5。(6)

したがって、1〜2単位の労働範囲では、平均限界生産物は25.5単位です。 この例では、各労働単位= 10人の労働者です。 したがって、平均MP L = 255.5 / 10 = 2.55。

ただし、Lが2の場合、労働の限界生産物(表13.1に示す)は28単位(または平均MP L = 2.8単位)です。 曲線上の単一ポイントでの限界値と、曲線上の2ポイント間の限界値とのこの区別は、コストとアウトプットを含む管理上の決定に関連性があります。

生産機能の プロパティ

ここで、短期生産機能の特性の基本的な問題と、この背景に対してマネージャーを練習するためのこれらの特性の意味に目を向けます。

私。 収益の減少の法則

総製品、平均製品、および限界製品曲線の形状は、基本的な技術法則、つまり、2人の古典的な経済学者、つまりDavid RicardoとTR Malthusによって最初に発見された利益の減少の法則に大きく依存します。

法律は、代わりに可変比率の法則、またはコストと生産性の反比例関係、および(限界)機会費用の増加の法則と呼ばれます。

収益の減少の法則は、他のすべての要因と技術の状態を変更せずに、変数入力の量を追加の増分で増加させると、総出力の増分が最終的に減少すると単純に述べています。

言い換えれば、可変因子のより多くのunit6が他の因子の固定量で適用されるにつれて、可変因子のすべての追加単位は、製品全体への貢献が徐々に少なくなります。

別の言い方をすると、TP Lへの最後の労働者の貢献は徐々に減少します。 これは、変動要因の作業対象となる固定要因の単位が徐々に少なくなるためです。 したがって、変動比率の法則の本質は次のように述べられます。短期的にすべての入力を比例的に変更できない場合、出力は非比例収益の法則に従います。

収益の減少の法則は、1つを除くすべての要因が変更されないため、短期的には成立します。 無線生産機能の場合に経営陣が下す唯一の決定は、生産プロセスで使用する適切な労働量を決定することでした。

さらに、技術の状態も一定のままであると想定されています。 最後に、収益の減少の法則は、変動要因の限界生産物が減少し始める点を指し、それが負になる点ではありません(つまり、総生産自体が低下するとき)。

収益の減少の法則は、生産の経験則です。 農家の経験から最初に発見されました。 実際には、異なる量の変数入力と結果の出力の間の物理的な関係に関する記述です。

この法律は広く適用されます。 法律が実質的にすべての短期生産状況に当てはまらない場合、生産マネージャーはMP Lが常にプラスであるため、生産の変動要因の追加ユニットの使用を停止することはありません。

ラジオ制作機能では、2.5単位の労働力が採用されると、収益の減少の法則の運用が開始されます。

これを検証するには、労働関数の限界生産物の一次導関数を取り、それをゼロに設定し、Lを解いて以下を取得する必要があります。

あるいは、法則の運用または収益の減少の仮説は、総出力(製品)関数の2次導関数を取得するだけで簡単にテストできます。

ii。 完全な限界関係

図13.4は、3つの製品曲線すべてが無線生成関数から導出されるため、それらの関係を示しています。 限界積は総積曲線の勾配で測定されるため、総積曲線の勾配がゼロのとき(つまり、総積が最大レベルに達するとき)、限界積はゼロに等しくなります。

これは、出力が115.6ユニットで、労働投入量が5.6ユニットの場合に発生します。 5.6単位以上の労働力を使用すると、総製品は実際に減少し、限界製品はマイナスになります。

減収が設定されている変数入力労働量の2.5単位は、総生産曲線の傾きが下がり始める点でもあります。 数学では、この点は変曲点として知られ、総積曲線の2次導関数がゼロに等しいときに発生します。

総製品曲線は、次の仮定を反映しています。

1.ゼロレベルの労働力で生産物を生産することはできません(この点はすでに指摘されています)。

2.出力、最初は増加率で増加します。 図13.4では、2人の労働者が雇用されている場合に発生します。 この範囲で、限界生産物は増加しています。

3.その後、総生産量は増加しますが、減少率は3〜5.6です。 この範囲で限界製品は減少しています。

4.最後に、合計出力自体が実際に低下するポイントに到達し、負の限界生産物を示します。 図13.4では、これは5.6を超える雇用レベルで発生しています。

iii。 平均と限界の関係

MP LとAP Lの間にも非常に密接な関係があります。 このコンテキストでは、次の3つの点に注目する価値があります。

1.限界製品曲線が平均製品曲線より上にある限り、平均製品曲線は上昇します。 含意は、変動要因の平均効率が増加していることです。

2.限界製品が平均製品よりも小さい場合、平均製品は減少します。

3.したがって、論理的には、限界積が最大に達したとき、つまり増加も下降もしていないとき、限界積は平均積に等しくなければならないということです。

この例では、生産プロセスで3.75単位の労働力が使用されている場合に発生します。 つまり、生産の他の要因の固定量を考えると、3.75単位の労働力が使用されると、労働者あたりの最大生産量が発生します。 これらの3つのポイントは数学的に証明できます。

ちなみに、変数入力の限界生産物が減少し始めた後でも、平均生産物は増加し続けていることに注意してください。 限界製品が平均製品よりも大きい限り、平均製品は上昇し続けます。

平均的な製品が最大に達するポイントは、短期的には最大の生産効率のポイントです。 ただし、これは必ずしも利益が最大化されるポイントではありません。 要因コストを明確に分析するには、生産性データを使用してさまざまな要因の市場価格を考慮する必要があります。

生産の弾力性

生産の弾力性は、変数入力の量の変化に対する出力の変化の割合として定義できます。

変数入力のわずかな変化に対する総出力の応答性の程度を測定します。

LとQが連続的に変化する場合、生産の弾力性は次のように表現できます。

方程式(9)をよく見ると、生産の弾力性は単に限界生産物と変動要因(労働)の平均生産物との比であることがわかります。

したがって、式(2)の無線生成関数の場合、生成の弾力性は次のようになります。

表13.2は、変数入力であるlabourの値を式(11)に代入した結果の詳細を示しています。

表13.2から、最大3.75の労働単位(L)で生産の弾力性が1を超えるという重要な結果が見つかりました。これは、出力が入力使用よりも速く増加していることを示しています。 これ自体は、生産プロセスの効率のテストです。

3.75単位の労働が固定生産要素と組み合わされると、生産の弾力性は正確に1に等しくなり、労働使用が増加する割合で生産が増加することを示します。 3.75ユニット以上の労働力が使用されるたびに、生産量は増加し続けますが、労働力の使用よりもゆっくりです。

5.6単位の労働を超えると、労働の使用量が増加しているという事実にもかかわらず、生産量は実際に減少しています。 3.75単位の労働投入量は、AP L曲線の「ピーク」、つまり最大AP Lに対応し、生産の弾力性のカットオフまたは臨界点でもあります。

生産の弾力性は、定期的に生産量を増減するよう求められている生産管理者にとって、より実際的な意味合いがあります。 この概念は、生産量の20%の増加が必ずしも労働使用量の20%の増加を必要としないことを明確にします。

生産と意思決定の3つの段階

これまでの議論から、短期的には生産プロセスの3つの異なる段階を発見しました。 効率的なリソース利用の観点から、各段階は重要です(図13.4を参照)。 3つのステージはすべて、変数の割合の法則と広く呼ばれるものを構成します。

ステージ1では、限界製品が平均製品を超えています。 この例では、労働量がゼロになったときにステージ1が開始され、3.75単位の労働力が採用されるまで続きます。 この初期段階では、生産の固定要素が完全に稼働に追い込まれず、最大の生産効率は達成されません。

これは、労働投入が使用されない場合、生産の固定要素が利用可能であるという事実にもかかわらず、生産がゼロになることは非常に明白です。 これは、労働投入量を十分に使用しないと、生産の固定要素を効率的に利用できないためです。

経済的実行可能性の観点から、ステージ1の関係は、ステージ2に到達するまで生産を継続する必要があることを示唆しています。 含意は、利益志向の人が確実に生産をステージ1までずっと拡大しようとしないことです。

これは、平均的な製品が増加している限り、生産プロセスがますます効率的になっているためです(労働単位あたりに生産されるラジオの数が増加しています)。

これは、平均的な労働生産物がその効率の尺度である限り、ステージ1全体に当てはまります。 したがって、ステージ1全体を通じて変動要因の使用を継続的に増やすことが必要です。 この例では、生産の意思決定者は、労働の使用を少なくとも3.75ユニットまで増やす必要があります。

ステージ3では、製品全体が減少しています。 したがって、合理的な意思決定者は、その価格にかかわらず、5.6ユニット以上の労働力を使用しません。 このポイントを超えると、余分な労働単位がすべて実際に総生産量の減少につながります。

さらに、生産の弾力性はステージ3で負であるため、同じ結論になります。 ステージ2とその境界は、経済的に実現可能な地域、つまり合理的な生産者が事業を行うことを選択する地域です。

利益を最大化するために使用すべき正確な労働量は、投入と産出の価格を知って初めて決定できます。 しかし、当社は3.75〜5.6単位の労働力を使用することがわかっています。

表13.3は、短期的な生産の各段階に存在する関係をまとめたものです。

2つ以上の可変入力を使用した生産

ここで分析を拡張して、複数の変数入力をカバーすることができます。 このセクションで開発された原則は引き続き適用されます。 生産要素の少なくとも1つが量的に固定されていると仮定し続けることがあります。 これは、私たちがまだ短期間に対処していることを意味します。この場合、収益の減少の法則が適用されます。

資本投入は垂直に測定され、労働投入は水平に測定されます(図13.5を参照)。 行と列の交点にある数字は、そのレベルの資本および労働投入量の出力を示しています。

たとえば、4台のマシンと2人のワーカーが50ユニットの出力を生成します。 収益の減少の法則の運用も認識できます。 マシンの入力が4単位で一定に保たれると、追加の労働単位により出力がますます小さくなります。 したがって、特定の行に沿って出力は増加しますが、レートは減少します。

すべての入力が可変である場合、収益の減少の法則は適用されず、短期は長期期間に置き換えられます。この場合、企業が行う決定は明らかに異なります。

例:

Metal Box Co.の生産マネージャーは、生産プロセスが現在、次の短期生産機能によって特徴付けられていると推定しています。

Q = 72X + 15X2 – X3、

ここで、Q =生産期間ごとに生産される箱のトン

X =生産期間ごとに採用される変数入力の単位。

(a)生産機能を図で示し、以下を示します。

i)増加するリターンの範囲。

ii)減少するリターンの範囲。

(b)変動因子のMPおよびAPの方程式を決定します。

(c)7単位の変数入力が使用される場合の限界積はどのくらいですか?

(d)期間ごとの最大出力能力は?

(a) The production function is Q = 72X + 15X2 – X3 and from this equation for total product Q we can derive marginal and average product figures by putting in the equation, different values for X (See Table 13.1). Total product curve is shown in Fig. 13.16 below.

The law of decreasing returns starts to operate when the seventh man is employed, ie, the output produced by each additional unit of the variable factor X after the sixth, begins to fall. Conversely, increasing returns apply up to and including the sixth unit of the variable factor.

(b) The marginal product of X represents the rate of change of the total product schedule.

Thus differentiating total product (TP) with respect of X gives us the MP equation:

The average product equation is simply derived by dividing the total product by the variable input X. Thus we get,

Ap = 72X + 15X2 –X3/X =72+15X – X2

(c) To find out the marginal product when seven units of the variable input are employed, requires the substitution of the relevant number into the MP equation:

MP = 72 + 30 X 7 – 3 x 72 = 72 + 210 – 147 = 135.

(d) The maximum output capacity in the short term can be obtained in two alternative ways. First, by reading the relevant figure from the graph or obtaining the data from the prepared table. The second method would be to make use of the MP schedule. It is known that maximum output occurs where MP = 0. Hence the quantity of the variable input that would be employed in this situation may be obtained by making the MP equation equal to 0:

72 + 30X – X7 = 0

24+10X -X2 = 0

(12-X)(2 + X) = 0

X = 12, or, – 2.

Since employment of negative variable factors is a logical impossibility, the solution X = — 2 may be ignored. The marginal product of the twelfth man is 0. Maximum, ” output is being achieved when twelve men are employed. So by utilizing the production function equation, the maximum output may be determined by substituting 12 for X:

Q = 72 x 12 + 15 x 122 – 123 = 1, 296.

Production in the Long-Run :

We will now consider the more general case of production with two or more variable inputs. To make diagrammatic analysis possible we consider only two variable factors. We may assume either that these two factors are the only variable factors or that one of the two factors represents some combination of various other variable factors.

Production Isoquants :

When analysing production with more than one variable input, it is not possible simply to use average and marginal product curves because these curves are derived holding the use of all other inputs constant (fixed) and allowing the use of only one input to vary.

If we were to change the usage of the fixed input, total, average, and marginal product curves would all shift. In the case of two variable inputs, changing the use of one input is likely to cause a shift in the marginal and average product curves of the other input. For example, an increase in capital would probably result in an increase in the marginal product of labour over a wide range of labour use.

The main point to note is that the long-run production function involving two variable inputs – labour and capital – can be shown diagrammatically. The production isoquant or equal-product curve is, in fact, a graphical representation of such a production function.

It can be defined as follows:

An isoquant is a locus of points showing all possible combinations of labour and capital physically capable of producing a fixed level of output. It is also known as production indifference curve.

While discussing the nature of long-run production, Samuel Webb has drawn a distinction between substitute and complementary inputs. According to him, “in production processes where exact amounts of two or more inputs are required to produce given units of output, the inputs are said to be perfect complements.”

A classic example is the primitive case where one man plus one shovel can produce a hole in the ground in a given amount of time.

This is shown by point A on isoquant Q 1 in Fig. 13.7(a). An additional shovel, at point B, is of no value to a man who can use only one at a time. In a like manner, an additional worker where there is only one shovel at point C can produce no more holes, assuming shovels are essential for digging and that a worker can work continuously without relief.

We see that isoquants for perfect complements are Z-shaped. Other examples given by Webb include component parts such as frames and wheels for vehicles, leather and buckles for leather belts, handles and blades for knives, foundations and roofs for houses, and so on.

Some products can be produced by inputs that can be readily substituted for each other, eg, coal and firewood. These two items might be perfect substitutes for each other in the generation of heat. Similarly, two nickels will work as well as one dime in operating many vending machines.

Alternative foods may fulfil minimum nutrient requirements equally well; for instance, peanut butter and corn meal are both rich in protein, white potatoes and – spinach are good sources of ascorbic acid. Shipments may be made as quickly by river as by rail. Isoquants for such examples are shown in Fig. 13.7(c).

In-between these two extreme cases there lie the more common cases where factors are substitutable for each other in varying degrees.

Fig. 13.7(c) illustrates two such isoquants. Isoquants I indicates all possibly combinations of capital and labour that are capable of producing the same level of output. We see that the firm can produce 100 units of output by using 10 units of capital and 75 of labour (point D), or 50 units of capital and 15 of labour (point A), or by using any other combination of capital and labour specified by isoquant I.

In a like manner, isoquant II shows various combinations of capital and labour that can be used to produce 200 units of output. However, each capital-labour combination can be on only one, isoquant. In other words, isoquants, like consumption indifference curves, cannot meet or intersect. Isoquants I and II are only two of an infinite number of isoquants that could possibly be shown in the diagram.

All the isoquants together constitute an isoquant map In an isoquant map, an isoquant which lies above and to the right of another shows a higher level of output. Thus, in Fig. 13.7(c) isoquant II indicates a higher level of output than that indicated by isoquant I.

Distinguishing between Movements along and Movements among Isoquants :

Each of the two isoquants in Fig. 13.7(c) represents the various combinations of the two variable inputs that can be used to produce the specified level of output. As we move from A to B along the isoquant for 100 units of output, the only change is in the capital labour ratio.

At point B, we have more labour and fewer units of capital than at point A. Moving outward along a particular ray (like OR), the ratio of the two inputs remains constant, but total output increases because more of both the inputs are being utilized.

Technical Vs. Economic Efficiency :

It is also important to note that combinations other than those on a given isoquant can be used to produce the given level of output; but such combinations would not reflect the “maximum-amount- of-output” and thus show economic efficiency of the production process. In Fig. 13.7(c), it- is clear that 100 units of output could be produced using more than 10 units of capital and more than 75 units of labour.

However, such production would simply 'waste' economic resources. By contrast, it is impossible to produce 100 units of output using less than 10 units of capital with 75 units of labour, or vice versa. For any combination along an isoquant, if the usage level of either input is reduced and of the other is held constant, output will fall.

The Marginal Rate of Technical Substitution :

As shown in Fig. 13.7(c) isoquants slope downward over the relevant range of production. This negative slope indicates that if the firm reduces the amount of capital employed, more labour has to be used to keep the level of output unchanged.

Alternatively, if labour use is decreased, capital usage must be increased to keep output constant. Thus, the two inputs can be substituted for each other to maintain a specified or fixed level of output.

The rate at which one input must be substituted for another keeping output constant, as along an isoquant, is called the marginal rate of technical substitution (MRTS), and is expressed as

MRTS = ∆K / ∆L

The minus sign is added in order to make MRTS a positive number, since ∆K/∆L, the slope of the isoquant, is already negative (because additional use of any factor always at the expense of the other).

Over the relevant range (ie, economic region) of productions the MRTS diminishes. That is, as more and more labour is substituted for capital keeping output constant, the absolute value of ∆K/∆L falls. This can be seen in Fig. 13.7(c).

If capital is reduced from 50 to 40 (a decrease of 10 units) labour must be increased by only 5 units (from 15 to 20) in order to keep the level of output unchanged at 100 units. That is, when capital is abundant relative to labour, the firm can discharge 10 units of capital but must substitute only 5 units of labour in order to obtain the same level of output.

The marginal rate of technical substitution in this case is -∆K/∆L = (—10)/5 = 2, implying that for every unit of labour added, two units of capital can be released in order to maintain the same level of output. However, consider a combination where capital is more scarce and labour more abundant.

For example, if capital is reduced from 20 to 10 (again a reduction of 10 units) labour has to be increased by 35 units (from 40 to 75) to keep output unchanged at 100 units. In this case MRTS is 10/35, indicating that for each unit of labour added capital can be decreased by 2/7 of a unit.

Thus, as capital is reduced and labour is increased along an isoquant, the amount of capital that can be released for each unit of labour added gradually diminishes. Differently put, the amount of labour that must be added for each unit of capital discharged, keeping output constant, must increase.

The slope of the isoquant measures the rate at which labour can be substituted for capital and vice-versa. It is observed that the isoquant becomes flatter and flatter as the producer moves downward from left to right. In other words, M RTS declines along an isoquant.

Relation of MRTS to Marginal Products :

By using elementary calculus we can summarize this relation very quickly. In the case of two- input production function

Q = Q(K、L)

we take the total differential and hold output constant on a particular isoquant. By using elementary calculus we can summarize this relation very quickly. In the case of two-input production function

In the theory of consumer demand we noted that MRS is the ratio of the two marginal utilities. The same type of relation holds here, too. Thus, for very small movements along an isoquant, the MRTS is just the ratio of the marginal products of the two inputs. このポイントは今証明されるかもしれません。

The level of output, Q, depends upon the use of the two inputs, L and K. Since output Q is the same at all points on an isoquant, ∆Q is zero for any change in L and K along an isoquant. Suppose that, at a point on the isoquant, the marginal product of capital (MPk) is 3 and the marginal product of labour (MP L ) is 6.

Then, if we add one unit of labour, output would increase by 6 units. How much capital must be eliminated to keep output unchanged? Capital must decrease enough to offset the increase in output generated by the increase in labour. Since the marginal product of capital is 3, two units of capital must be released. Thus, in our example, the MRTS = -∆K/∆L = – (-2)/1 = 2, which is exactly equal to MP L /MP k = 6/3 = 2.

Alternatively, if we were to reduce capital by one unit, output would fall by 3 units. Labour has to increase by ½ of a unit of neutralize the decline of 3 units of output or to keep output constant, since MP L = 6. In this case the MRTS = -∆K/∆L = — (—1)/1/2 = 2, which is once more equal to MP L /MP k .

Thus, in general, when L and K are allowed to vary marginally, the change in Q resulting from the change in the two inputs is the marginal product of L times the amount of change in L plus the marginal product of K times its change.

Thus in terms of symbols:

∆Q = (MP L ) (∆L) + (MP k ) (∆K).

In order that the producer stays on the same isoquant it is necessary to set AQ equal to zero. Then solving for the MRTS, we get:

MRTS = ∆K/∆L = MP L /MP K

The M RTS diminishes as the producer moves along an isoquant from left to right. It is because as additional units of labour are substituted for capital, the marginal product of labour falls.

Two forces work further to cause marginal product of labour to a fall:

(1) Less capital causes a downward shift of the marginal product of labour curve, and

(2) Additional units of the variable input (labour) cause a downward movement along the marginal product curve.

Thus, as labour is substituted for capital the marginal product of labour has to fall. For similar reasons, the marginal product of capital increases as less capital and more labour are used to produce the same level of output.

Thus, as labour is substituted for capital the marginal product of capital increases. Combining these two conditions as labour is substituted for capital, MP L decreases and MP k increases; so MP L /MP k will diminish.

Ridge Lines and the Economic Region of Production :

We have postulated convexity of isoquants. And it presupposes positive marginal product of L and K. But MP of L may become negative if the application of L is so large relative to quantities of other input(s), say capital, that an increase of labour would result in congestion and inefficiency, in which case MP may turn out to be negative. Then returns to scale (RTS) would become negative, as at point A of Fig. 13.7.

The definition of production function does not preclude the possibility of negative RTS. Clearly, a movement from A to B would result in a reduction of both L and K. And since inputs are to be paid, an entrepreneur would prefer point B to point A, as he is assumed to behave rationally. The ridge lines OC and OD enclose the area of rational operation, ie, they delineate the regions in which input combinations are economical.

Figure 13.8

Ridge Lines

The Optimal Combination of Inputs :

Thus it is clear that any desired level of output can be produced by a number of different combinations of inputs. But as we noted at the outset, one of the four production decisions a manager must make is: which input combination to use, or, what is the 'optimal' input combination?

The manager can choose from among different combinations of capital (K) and labour (L) to produce a given level of output. Or, faced with specified input prices, it can choose from among many combinations of K and L that would lead to a fixed level of cost, ie, expenditure.

Thus he has to make either of two input choice decisions:

1. Choose the input combination that yields the maximum level of output possible with a fixed outlay (ie, output maximization subject to cost constraint).

2. Choose the input combination that leads to the lowest cost of producing a fixed level of output (ie, cost minimization subject to output constraint).

The solution to any constrained maximization or minimization problem is choosing the level of each activity whereby the marginal benefits from each activity, per rupee spent, is the same at the margin.

To ensure this, the profit-maximizing firm has to choose that input combination for which the marginal product divided by input price is the same for all inputs used. The implication is that for our two-input case a firm attains the highest level of output when

MP L /P L = MP k /P K or MP L /w = MP K /r

were w and r are, respectively the prices of labour (P L ) and capital (P K ). Thus the MRTS = (MP L / MPk) equals the factor price ratio (w/r). This combination may now be illustrated graphically.

Input Prices and Isocosts :

The isoquant shows the desire of the producer. But the desire to produce a commodity is not enough. The firm must have capacity to do so. Usually a firm is supposed to have a fixed amount of money to buy resources. In other words, like a consumer, the producer has also to operate under a budget constraint. The isocost line is, in fact, the producer's budget line.

In determining the optimal input combination, a profit-maximizing firm or producer has to pay attention to relative input prices if it is to minimize the cost of producing a given output, or maximizing output for a given level of cost. Input prices are determined by the market forces, ie, by supply and demand in the input market.

For producers who are not 'monopsonists' or 'oligopsonists' (ie, the sole purchaser of, or one of a few purchasers of an input), input prices are taken as given by the market. Here we look at a producer who is a competitor in the input market facing given market-determined input prices; so we treat the input prices as fixed.

So the total cost equation is C = rK + wL where all the terms have their usual meaning. Total cost (outlay) is simply the sum of the cost of K units of capital at r rupees per unit and of L units of labour at w rupees per unit.

簡単な例を考えてみましょう。 Suppose capital costs Rs. 100 per month per unit (r = Rs. 100) and labour receives a wage of Rs. 250 per unit (w = Rs. 250). Then the firm's total cost function is

C = 100 K + 250 L.

Now suppose the firm decides to spend Rs.1, 500 per month for capital and labour. Thus the equation becomes 1500 = 100A' + 250L . If we solve this equation for K, we see the combinations of K and L that can be chosen is K = 15 — 2.5L.

Similarly, if Rs. 2, 000 are to be spent on K and L, the firm can purchase combinations given the relation: K = 20 — 2.5L. In a more general situation, if a fixed amount C is to be spent, the firm can choose among the combinations given by

This equation is illustrated in Fig. 13.9. If Rs. 1, 500 is spent on capital alone, 15 units of capital may be bought. If Rs. 2, 000 is spent on capital alone, 20 units of capital may be purchased.

More generally, if C is to be totally spent and r is the unit cost, the maximum amount of capital that can be purchased is C/r units; C/r is, therefore, the vertical intercept of the line. If one unit of labour is purchased at Rs. 250, 2 ½ units of capital have to be sacrificed; if 2 units of labour are bought, 5 units of capital must be given up and so on.

Thus, as the purchase of labour is increased, the purchase of capital has to fall if total cost remains fixed. In other words, each extra unit of labour purchased, w/r units of capital must be foregone. In Fig. 13.9, w/r = 2.5. The negative of this ratio is the slope of the line. This slope shows the actual rate of factor substitution, ie, the rate at which capital can be substituted by labour, or labour by capital, in the market-place.

The lines in Fig. 13.9 are called isocost lines because they show the various combinations of inputs that may be purchased with a fixed amount of money. In other words, total cost is the same at all points on the line.

An increase in outlay, holding factor prices fixed, leads to a parallel rightward shift of the isocost line. Thus the isocost line for C = Rs. 2, 000 lies above the line for C = Rs. 1, 500。 There would exist an infinite number of isocost lines, each relating to a different level of cost outlay (expenditure).

At fixed input prices, r and w for capital and labour, it is possible to purchase with a fixed outlay C, any combination of capital and labour given by the following linear equation:

K = C/r – w/r L.

This is the equation for an isocost line whose intercept (C/r) is the amount of capital that may be purchased if no labour is bought and whose slope is the negative of the factor-price ratio (w/r).

If the relative factor prices change, the slope of the isocost line must change, If w rises relative to r, the isocost line becomes steeper. If w falls relative to r, the isocost line becomes flatter.

Production of a Given Output at Minimum Cost :

Whatever output a firm chooses to produce, the production manager is desirous of producing it at the lowest possible cost. To accomplish this objective, the production process must not only be technically efficient but economically efficient, as well. So the production process has to be organized in the most efficient manner.

Suppose that at given input prices r and w, a firm wishes to produce the output indicated by isoquant Q 0 = 100 in Fig. 13.10. Isocost lines KL, K'L' and K”L” are three of the infinite number of isocost lines from which the producer can choose at the given factor prices. Obviously, the firm will choose the lowest level of cost outlay that enables output level Q 0 = 100 to be produced.

In Fig. 13.10 that output level will be produced at the cost represented by isocost line K' L'. Any cost outlay below that, for example that represented by KL, is not feasible since it is impossible to produce output Q 0 with these factor combinations. Any factor combination above that represented by K'L' are not considered because the firm seeks to produce the desired output at least cost.

If combinations A or B are chosen, at the cost outlay represented by K”L”, the producer can reduce costs by moving along Q 0 to point E. Point E shows the optimal resource combination, K 0 units of capital and L 0 units of labour. This is known as the least cost combination (ie, most efficient) of inputs.

Recall that the isoquant shows the desired rate of factor substitution and the isocost line the actual rate of factor substitution. A firm reaches equilibrium and thus minimizes cost when the lowest possible isocost line (whose slope is the factor-price ratio) is tangent to the isoquant (whose slope is MRTS).

At this point of tangency the slopes of the two curves are equal, or,

MP L /MP k = w/r, or, MP L /w = MP k /r

Put differently, production at least cost requires that the MRTS of capital for labour be equal to the ratio of the price of labour to the price of capital.

The factor price ratio tells the producer the rate at which one input can actually be substituted for another in the market place. Recall that MRTS shows the rate at which the producer can substitute between the inputs in production. If the two are not equal, a firm can reduce cost further by altering the factor proportion.

Thus, to minimize the cost (expenditure) necessary to produce a given level of output with given input prices, the producer must combine inputs in such quantities that the MRTS of capital for labour is equal to the factor price ratio (the price of labour to the price of capital).

We can analyse the equilibrium condition in an alternative way. Suppose the equilibrium condition did not hold or, specifically, that the producer was at point B in Fig. 13.9. At point B,

In this case the marginal product of an additional rupee worth of labour is less than the marginal product of an additional rupee worth of capital. The firm could therefore reduce its use of labour by Re. 1, expand its use of capital by Re. 1, and produce the same level of output but at a reduced cost. It could continue to do this until the above inequality is converted into an equality.

Eventually, MP L /w would become equal to, MP k /r since MP L rises with decreased use of labour and increased use of capital and MP k falls with increased capital, and decreased labour. By following the same logic it is possible to establish that if the inequality is reversed, such as the case at point A, the firm would continue to substitute labour for capital until the equality holds.

Mathematical Note :

This equation states that for the firm to be employing the least cost combination of inputs K and L, the additional output obtainable from spending an extra rupee on input L must equal the additional output obtainable from spending another rupee on input K.

If this relationship did not hold, the firm would gain by purchasing less of the input with a lower additional output per additional rupee expenditure, and more of the input with a greater additional output per extra rupee expenditure.

Suppose for a firm using two inputs K and L, MP L = 5, P L = Rs. 5, MP K = 40, and P K = Rs. 25. Is the firm optimizing the use of its resources? If not, why not?

解決策

Here MP L /P L < MP K /P K (1unit per rupee < 1.6 units per rupee). So the firm would be better off by using less labour and more capital. (If the firm spend an additional Rs. 25 on labour it would gain 25 units of output, whereas if it spends an additional Rs. 25′ on capital, it would gain 40 additional units of output).

Production of Maximum Output with a Given Level of Cost:

An alternative, but more preferable way of presenting the optimization problem is to assume that the firm can spend only a fixed amount of money to produce a commodity and it seeks to attain the highest level of production consistent with that amount of outlay. This approach seems to be more practical than the previous one. The end result will be the same as before.

Such a situation is illustrated in Fig. 13.11. The isocost line K L shows all possible combinations of the two inputs that can be purchased with a fixed amount of money and a fixed set of factor prices. Four hypothetical isoquants are shown. Clearly, at

the given level of cost, output level Q 3 is unattainable. And, neither output level Q 0 nor level Q 1 would be chosen, since higher levels of output can be produced with the fixed cost outlay. The highest possible output with the given level of cost is produced by using L o amount of labour and K 0 amount of capital.

At point A, the given isocost line is tangent to the highest attainable isoquant, viz., isoquant Q 2 . Thus, in the case of constrained output maximization, the MRTS of capital for labour equals the factor-price ratio (the price of labour to the price of capital).

Thus in order either to maximize output subject to a given cost or to minimize cost subject to a given output, the production manager must employ factors in such amounts as to equate the MRTS with the factor price ratio.

The Expansion Path :

In Fig. 13.11 we illustrated one optimizing point for a firm. This point shows the optimal (least cost) combination of inputs for a fixed level of output.

However, we know that there exists an optimal combination for every level of output the firm might choose to produce, and the proportions in which the inputs are combined need not necessarily be the same for all levels of output. To examine several optimizing points at a time we use the expansion path.

The expansion path shows the way in which factor proportions change in response to output changes, with the factor-price ratio remaining unchanged. In Fig. 13.12 the curves Q 0 – Q 1 and Q 2 are isoquants depicting a representative production function.

The isocost lines KL, K'L' and K”L” represent the minimum costs of producing each of the three output levels, since they are tangent to the respective isoquants. Since we do not assume any change in the factor-price ratio up to this stage, these isocost lines are parallel.

Look at the three optimum points, A, B, and C. Since at each of these:

(1) Factor prices remain constant, and

(2) The MRTS is equal to the factor-price ratio, it follows that the marginal rates of technical substitution are equal at A, B, and C.

Therefore, the expansion path, OS, is a locus of points along which the MRTS is constant and equal to the factor price ratio. But it is a curve having a special feature: It is the locus along which output will expand when factor prices are constant. We may accordingly suggest a definition.

The expansion path is the curve along which the firm expands (or contracts) output when factor prices remain constant. It indicates how factor proportions change when output (or expenditure) changes, factor prices remaining unchanged.

It shows output expansion effect which is similar to income effect (studied in the theory of consumer demand). Since it is made up of points of efficient (least cost) input combinations, the expansion path is the locus of efficient combinations of the inputs. On the expansion path, the MRTS remains constant, since the factor-price ratio is constant.

The expansion path gives the firm its cost structure. In fact, the long-run total cost curve is derived from the expansion path. The expansion path shows the optimal (least-cost) combination of inputs to be used to produce each level of output.

The sum of the quantities of each input used, times the respective input price, gives the minimum cost of producing every level of output. This is turn allows us to relate cost to the level of output produced.

Changes in Relative Prices :

We have derived the expansion path under only one set of input prices. But, it should be clear that change in relative input prices change the expansion path and hence the cost structure. For example, consider first the expansion path OS shown in Fig. 13.13.

The relative price of capital and labour is given by the slope of KL, K'L', K”L”. The tangencies of these isocost lines to isoquants Q 0, Q 1 and Q 2 indicate the optimal quantities of capital and labour used to produce each of these three levels of output and OS, of course, gives the optimal combination for every level of output over the range.

Now, suppose the price of labour (or wage rate) increases relative to the price of capital (or the rate of interest). Since the ratio w/r increase, the isocost lines become steeper. These new isocost lines are shown as ZF, Z'F' and Z” F”. Now the tangency on each isoquent occurs at a smaller quantity of labour and a large quantity of capital.

These new optimal combinations indicate that the firm substitutes capital for labour to produce each level of output when the price of labour rises relative to the price of capital. This is called the input (factor) substitution effect. It results from a change in factor prices. So the new expansion path, OR, is established and it shows the new optimal combination of inputs for each level of output.

Further changes in factor prices would lead to further factor substitution. The direction of substitution depends upon the nature and direction of the relative change in factor prices. If the price of labour rises relative to the price of capital, the firm substitutes capital for labour at each level of output, and production process becomes more capital intensive (eg, tractorisation in agriculture or computerisation in industry).

If the price of capital rises relative to the price of labour, the firm substitutes labour for capital (eg, manual operation of petro pumps in place of power-driven machines). Firms will always substitute away from the input that becomes relatively expensive towards the input that becomes relatively cheap.

So long we have focused on production under variable proportions. But, a production function could also be characterized by production under fixed proportions. For example, if 2 units of labour and 5 units of capital are necessary to produce 100 units of output, 200 units of output require 4 of the labour and 10 of capital, 300 units require 6 of labour and 15 of capital, and so on. If labour is limited to 2 units, no matter how much capital is added beyond 5 units, only 100 units of output can be produced. In this case the capital to labour ratio, K/L is always 5/2, regardless of the level of output.

All fixed proportions production functions are characterized by a constant factor proportion (or K/L ratio) at every output level. In this fixed factor proportion case, the isoquants will be L-shaped and the expansion path is a straight line through the origin.

This means that if labour remains at a given level while capital is increased, no more output can be produced. Neither can an increase in labour raise output if the stock of capital remains unchanged. It, therefore, follows that no matter what the ratio of input prices is, the firm uses the same combination of inputs to produce each given level of output. In this case the input substitution effect is absent.

因子置換の弾力性

A complex concept, the elasticity of substitution, is a property of production function. It is a measure of the ease or difficulty of substituting capital for labour in response to a change in the ratio of the prices of labour and capital. In some production functions the elasticity of substitution is assumed to be unity; many empirical studies (such as those made by Cobb and Douglas) have also shown values close to unity.

This implies that a 1% increase in the ratio of the price of labour to the price of capital causes a 1% increase in the capital-labour ratio. The elasticity of substitution is also important in an analysis of the relative shares of labour and capital in the national product (income).

Mathematical Note :

The slope of the isoquant indicates the substitutions that, if made, will leave output unchanged. Hence the slope of the isoquant through any point becomes

The numerical value of this slope is termed the marginal rate of substitution of the services of factor L for those of factor K and reflects the relative ease of substituting the services of factor L for those of factor K. The relative change in the marginal rate of substitution is called the elasticity of substitution. The elasticity of substitution may be expressed as

Finally, assuming that the ratio of factor prices is equal to the ratio of marginal products, we get

Thus, the elasticity of substitution, as defined by Sir John Hicks, is a measure of the relative change in the factor proportion divided by the relative change in factor-price ratio.

Returns to Scale :

In the short run we study the returns to a factor. In the long-run we study returns to scale. In the long-run all factors are variable and it is possible to change the scale of production of the business firm.

We may now consider the effect of a proportionate increase in all inputs, on the level of output produced. For example, if we were to double both K and L inputs, output would surely increase but we do not know by how much. To answer this question, we need the concept of returns to scale.

Let us consider an increase in the usage of all inputs by a proportion a. If output increases exactly by the same proportion, the production function is said to exhibit constant returns to scale.

If, however, output increases by more than a, production function is said to exhibit increasing returns to scale. Alternatively, if output increases by less than a, the production function is said to be characterized by decreasing returns to scale.

These relations can be illustrated, using Fig. 13.14. We start with an arbitrary level of usage of capital and labour at K 0 and L 0 . This combination of capital and labour produces some level of output, Q 0 = 100 units. Now, we double our level of inputs to 2K 0 and 2L 0 and, as a result, output increases to Q 1 .

If Q 1 is exactly equal to 200, this is a case of constant returns to scale. If Q 1 is greater than 200 units (say, 215), there is increasing return to scale. Finally, if Q 1 is less than 200 units (say, 180) the production function is said to exhibit decreasing returns to scale.

The returns to scale may be treated more analytically by expressing the production relation in functional form as

Q = ƒ(L, K).

Suppose we increase the inputs by a constant proportion (say, a) and output gets multiplied by αn. Then we have

αnQ = ƒ(α L, αK).

Here α and αn represent increases in the scale of operation and level of output, respectively. We have noted, in the case of constant returns to scale, if inputs are increased by a given proportion, output rises by the same proportion, that is, αn= a.

More generally, if all inputs are increased by a factor a and output gets multiplied by a factor of αn then a firm experiences:

1. Increasing returns to scale if n > 1, in which case αn > α (output goes up proportionately more than the increase in input usage).

2. Constant returns to scale if n = 1, or αn = α (output goes up by the same proportion as the increase in input usage).

3. Decreasing returns to scale if n < 1, or αn < α (output goes up proportionately less than the increase in input usage).

Returns to Scale and Cost Behaviour :

An intuitive understanding of the concepts of increasing, constant and decreasing returns to scale can be developed by looking at Fig. 13.15. Suppose we start with a given capital/labour ratio of K 1 /L 1, which is the same in all the three panels.

The question to be answered about returns to scale is: How much do we have to increase the two inputs, capital and labour, in order to keep on doubling the rate of output from Q 0 to Q 1, Q 2 to Q 2, and Q 2 to Q 3 .

In panel (a) of Fig. 13.15, increasing returns to scale is illustrated. This can be verified by comparing the respective distances between the isoquants along the ray emanating from the origin. We know that along any ray from the origin, the ratio of the two inputs remains constant.

Since here we are interested in analysing the case of proportional changes in all inputs, we have only to compare the distances between the isoquants as measured along the ray from the origin. The rays through the origin in all the three panels have equal slope.

In panel (a) the distance along the ray from the origin to the first isoquant (Q 0 ) exceeds the distance between the first isoquant (Q 0 ) and the second isoquant (Q 1 ), which exceeds the distance between the second (Q 1 ) and the third (Q 2 ), and so on. Thus, it is possible to double output by less than doubling of inputs.

Panel (b) illustrate the case of constant returns to scale. In this case the distance along the ray between any two successive isoquants remains unchanged, suggesting a proportionate increase in both inputs and output. Differently put, a doubling of the inputs will lead to a doubling of output.

Panel (c) shows decreasing returns to scale. The distance between successive isoquants gets larger and larger for proportionate increases in inputs. That is, the production process demands more than a doubling of all inputs in order to exactly double the level of output.

Because all inputs have a cost, the long-run concept of returns to scale has significant implications for the behaviour of the long-run cost curve, and these results are shown in panels (a'), (b'), (c') in Fig. 13.15. We shall deal more completely with the linkage between returns to scale and long-run costs. Here, Fig. 13.15 highlights the nature of the inverse relationship between productivity and cost.

Thus, constant returns in panel (b) leads to linear total cost curve in panel (b') – constant cost per unit. In like manner, increasing returns in panel (a) results in total costs in panel (a') growing at a decreasing rate, that is, continuously declining cost per unit. Finally, decreasing returns in panel (c) leads to a total cost curve in panel (c') with a constantly increasing slope, or constantly increasing cost per unit.

Reasons for Increasing and Decreasing Returns to Scale :

There are various variables that might account for the phenomenon of increasing returns to scale. As a firm expands the scale of its operation, opportunities for increased specialization in the use of resource inputs normally occur. This point was first made by Adam Smith in his The Wealth of Nations where he analysed the production process in a pin factory.

Rather than each worker making a complete pin, increased output allows workers to divide up tasks into separate activities, such as drawing the wire and forming the pin.

Transportation costs are also likely to be affected by the size of the firm. Typically, transportation costs are related to the size of the market. Transportation costs do not double when the size of the market gets doubled. Firms can also take advantage of large-scale equipment due to indivisibility of factors.

As noted by Bails and Peppers, “a construction firm may be able to utilize more fully larger and more efficient equipment, than would a smaller construction firm. The most probable explanation for decreasing returns to scale is that there are limits to the effective management of larger and larger production units. As the layers of management increase, lines of communication become blocked and the ability to make prompt management decisions hindered”.

Economies of Scope :

Economies of scope exist for multiple products when the cost of joint production is less than the cost of producing each output separately. In other words, as Pappas and Brigham have put it, “a firm will produce products that are complementary in the sense that producing them jointly is less costly than individual production”.

This concept explains best why firms produce multiple rather than single products. This new concept forces management to consider both direct and indirect benefits associated with individual lines of business. For example, on a product line basis, some firms offer products as a “loss leader”.

Economies of scope assume added significance of late because they permit a firm to translate superior skill or productive capability in a given product line into unique advantages in the production of complementary products.

In terms of business policy, this suggests that an effective competitive strategy would be one emphasizing the development or extension of product lines related to a firm's well established products.

For example, USA's Pepsi Co. Inc., has long been a leader in the soft drink world. Over an extended period of time, the Company has gradually broadened its product line to include various brands of snack food like corn chips.

This product line extension strategy was effective because it capitalized on the product development capabilities, distribution network, and marketing skills developed by the firm in its soft drink business. This has led to considerable cost saving.

In this context, Pappas and Brigham have commented that “the economies of scope concept plays an important role in managerial decision making because it offers a useful means for evaluating the potential of current and prospective lines of business. It naturally leads to a definition of those areas in which the firm has a comparative advantage and thus its greatest profit potential”.

Testing Production Functions for Returns to Scale :

Fig. 13.16 illustrates the generalized relationship between the level of output and the level of input usage (with the factor mix of labour to capital held constant). It is possible to identify returns to scale.

Suppose that we start with the following production function:

Q = f(X 1, X 2, X 3 ). (1)

Furthermore, suppose that we multiply each input by a constant a. Due to the proportionate increase in all inputs, output will increase by some proportion, which, by convention, we will call A.

In terms of the above production function we get:

λQ = ƒ(αX 1, aX 2, aX 3 ).

To test production functions for returns to scale, all that is necessary is to compare the value of There are various variables that might account to the value of λ:

1. If λ> α, the production function exhibits increasing returns to scale.

2. If λ< α, the production function exhibits decreasing returns to scale.

3. If λ= α, the production function is characterized by constant return to scale.

For example, suppose that the following production function has been estimated as:

Q = 7X 1 +4X 2 + 0.3X 3 . (3)

Furthermore, suppose that the initial values of the inputs are X 1 = 2, X 2 = 1, and X 3 = 3. Based on these initial input values, total production would be

Q = (7)(2) + (4)(1) + (0.3)(3) = 18.9. (4)

Now suppose that we double the inputs to 4, 2 and 6, respectively. On the basis of these new input values, output becomes

Q = (7) (4) + (4)(2) + (.3)(6) = 37.8. (5)

In this case a doubling of inputs (α = 2) leads to an exact doubling of output (λ = 2). Thus, the original production function is characterized by constant returns to scale (λ =α).

Alternatively, consider the production function given below

Q = 2 K2 + 6KL. (6)

If the initial values of K and L are 1 and 2, respectively, then total output is 14. If both inputs were doubled (α = 2), output would increase to 56(λ = 4). Output has quadrupled, indicating a production function exhibiting increasing returns to scale (λ > α).

The Degree of Homogeneity of a Production Function :

If the constant term a can be factored out of the production function, the function is said to be homogeneous of degree n. For example, if the production function given in Eq. (7) is multiplied by the factor α, we obtain

Since α can be factored out of Eq. (7), and a in Eq. (8) has an exponent of 1, the production function in Eq. (8) is said to be homogeneous of degree one.

The general procedure of determining the homogeneity of a production function is to utilize the following scheme and thus evaluate αn:

1. If n > 1, we have increasing returns to scale.

2. If n < 1, we have decreasing returns to scale.

3. If n = 1, we have constant returns to scale. For example, suppose the estimated production function is

Because the exponent of α 0.58, is less than 1, the production function is characterized by decreasing returns to scale.

Elasticity of Production :

An alternative procedure for testing for the presence of returns to scale is to examine the elasticity of production, a concept introduced earlier. Because returns to scale is a relative measure – a comparison of the percentage increase in output usage relative to the percentage increase in all inputs – it corresponds

to an elasticity of production measure. If the elasticity of production coefficient exceeds 1, the production function shows increasing returns to scale; if it equals 1, there are constant returns to scale; and if it is less than 1, there are decreasing returns to scale.

 

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